Sé que a muchos y muchas les gusta la expresión del título para denotar que a veces  la suma es mayor que las partes, pero hoy no les vengo a hablar de eso.  Les voy a hablar de  sistemas de números, donde las cosas son algo diferentes, y que siempre los hemos utilizado, pero nunca nadie nos habló al respecto, incluso nos miran feo al decir que 2+2=4 es matemáticamente posible.

Resulta ser que hay sistemas de números que son cíclicos, es decir, que van aumentando y aumentando, pero llegan a un punto límite y vuelven a empezar.  Todos y todas ustedes están familiarizados con al menos uno de ellos, el reloj de 12 horas (o de 24).

Claramente en un reloj (digital o analógico), se tienen marcados los números del 1 al 12, indicando 12 horas. Con los minutos y segundos es parecido, solo que en lugar de llegar a 12 es a 60, pero por el momento concentrémonos en las horas.

Digamos que son las 10 de la mañana, y alguien les dice: “nos vemos en 5 horas”, ¿a qué hora vamos a ver a esta persona?, intuitivamente sumamos 10 + 5, pero eso nos da 15, miramos en nuestro reloj y no tenemos 15. Nos quedamos pensando un rato, y lo que hacemos normalmente es: a las 10, le faltan 2 para ser las 12, entonces de las 5 horas me quedan 3 horas adicionales que las sumo y listo, nos vemos a las 3 de la tarde.

A esto, se le llama aritmética modular, y es extremadamente importante en el mundo de las matemáticas y la computación.

Antes de entrarle a los números, veamos otro ejemplo. Muchos y muchas de ustedes han participado en talleres.  En estos talleres cuando se hacen actividades de grupo, una forma de hacerlos, si queremos grupos de 5 personas por ejemplo y hay 27 personas en total, es pedirle a cada persona que de forma secuencial vaya diciendo los números 1,2,3,4,5… al llegar al 5, volvemos a empezar en 1.

Casi de inmediato las personas en el taller entendemos de qué se trata, pero les apuesto que nunca han pensado en ello. Ahora si hacemos grupos de 5 personas, ¿cuántas “sobran”?, es decir, ¿cuántas se quedarían sin grupo de 5?  Como vemos en la figura, hay dos personas que se quedan sin grupo.

Lo que hicimos fue, a través de contar, dividir 27/5.  Pero es una división especial, puesto que 27/5 = 5.4, pero claro, no podemos partir en pedazos a las personas para hacer los grupos, por más mal que nos caigan. Así que 5.4 “personas” no tiene sentido alguno, y la división como nos la enseñan no sirve.

Lo que hacemos es una división de números enteros. Los números enteros no tienen decimales, no hay pedazos, ni fracciones de número. De hecho se les llama enteros por eso mismo. Así por ejemplo es 1 ó 2, pero no hay nada entremedio del 1 y 2.  Cuando contamos personas, esto tiene sentido, hay 1 ó 2 personas, no hay una persona y media (por más bajita que sea una persona).  Dicho de otro modo, el conteo de personas, corresponde a operaciones en el conjunto de números enteros.

Esto quiere decir que esa división es especial.  En la división de grupos de personas 27/5 = 5, ¿pero qué pasa con las que sobran?, decimos 27/5 = 5 y “sobran” 2.  “Sobran” es en realidad una operación matemática de extrema importancia, y se le llama “módulo” o abreviado “mod”.

De lo anterior, nos referimos a lo que “sobra” de una división de números enteros, como

27 mod 5 = 2.   Formalmente, la operación a mod b, para dos números enteros a y b, es el residuo de la división a / b.

Volvamos al reloj.  Si son las 10 de la mañana y le debo sumar 5 horas, la operación que realizo es,

Noten como la operación mod, como que nos permite reiniciar el conteo.  Así por ejemplo si son las 10 de la mañana y le sumo 15 horas,

Es decir serían la 1 de la mañana.  Podríamos hacer lo mismo con un reloj de 24 horas (de hecho hasta mejor así no tenemos que lidiar con el AM-PM).

Con la división de 27 personas en grupos de 5 sería similar, pero nos damos cuenta de una cosa mucho más interesante,

Si recuerdan las divisiones en el colegio,

De forma más general, en números enteros, podemos escribir cualquier división como,

Esta fórmula es importante en la aritmética que ocurre en las computadoras.  Literalmente la computadora para resolver una división, revisa “cuántas veces” cabe exactamente el divisor en el dividendo, y lo hace hasta que no cabe más, dejando el residuo sin dividir. Incluso en términos de tiempo que tarda una computadora en calcular, la división es “costosa” por eso mismo.

La operación Módulo que les mencioné, es extremadamente importante en la computadora. Estas operaciones y conceptos son vitales en la programación de videojuegos, en criptografía (sobre todo lo que se llama exponenciación modular), y en muchos algoritmos de machine learning, o solución de problemas complejos.

Si pensamos, y 2+2 no es igual a 4, es que tenemos un sistema numérico que solo llega a 3, como en un reloj de 3 horas, donde a 2 horas le sumo 2 horas y me daría 1, es decir, 2+2=1.  A estos sistemas numéricos que son cíclicos, los llamamos modulares.  ¿Qué otro sistema modular conocen ustedes? se los dejo de tarea.

Director Escuela de Sistemas Inteligentes
Universidad CENFOTEC

tdecamino@ucenfotec.ac.cr